sábado, 27 de junio de 2015

2.2 Mediana

En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.
Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:
  1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
  2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
A continuación veamos cada una de ellas:

Datos sin agrupar

Sean x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como M_e, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n+1)/2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: M_e=x_{(n+1)/2}.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9 => El valor central es el tercero: x_{(5+1)/2} = x_3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x_1, x_2) y otros dos por encima de él (x_4, x_5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n/2 y n/2+1. Es decir: M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9, x_6 = 10. Aquí dos valores que están por debajo del x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si  {{\frac {n} {2}}}  coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})
Donde N_{i} y N_{i-1} son las frecuencias absolutas acumuladas tales que N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}, a_{i-1} y a_{i} son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y M_e=a_{i-1}+p es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que a_{i} - a_{i-1} es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.
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